Kalkül verstehen: Probleme, Lösungen und Tipps

Kalkül ist die Mathematik der Veränderung, ein Gebiet mit vielen wichtigen Anwendungen in Wissenschaft, Technik, Medizin, Wirtschaft und anderen Disziplinen. Beginnen Sie mit einem Überblick über die Ziele der Reihe. Dann machen Sie sich die Füße nass, indem Sie das klassische Tangentenproblem untersuchen, das das Konzept der Grenzen veranschaulicht.

In der ersten von zwei Wiederholungsepisoden zur Vorkalkulation untersuchen Sie Graphen von Gleichungen und Eigenschaften wie Symmetrie und Schnittpunkte. Untersuchen Sie auch die Verwendung von Gleichungen zur Modellierung des realen Lebens und beginnen Sie mit dem Studium der Funktionen, die Professor Edwards als das wichtigste Konzept der Mathematik bezeichnet.

Wiederholung der Vorkalkulation durch Erkundung verschiedener Funktionstypen und ihrer Graphenformen. Untersuchung trigonometrischer Funktionen anhand von Definitionen für rechtwinklige Dreiecke und Einheitskreise, mit Schwerpunkt auf Winkeln, die im Bogenmaß gemessen werden.

Steigen Sie ein in die echte Infinitesimalrechnung, indem Sie das in der ersten Folge vorgestellte Konzept der Grenzwerte vertiefen. Lernen Sie die informelle Arbeitsdefinition von Grenzwerten und wie man einen Grenzwert auf drei verschiedene Arten bestimmt: numerisch, grafisch und analytisch. Erfahren Sie außerdem, wie Sie erkennen können, wann eine bestimmte Funktion keinen Grenzwert hat.

Allgemein gesagt ist eine Funktion kontinuierlich, wenn die Kurve beim Zeichnen ihres Graphen keine Unterbrechung aufweist. Erforschen Sie die drei Bedingungen, die für Stetigkeit erfüllt sein müssen, zusammen mit den Anwendungen damit verbundener Ideen, wie z. B. der größten ganzzahligen Funktion und dem Zwischenwertsatz.

Unendliche Grenzen beschreiben das Verhalten von Funktionen, die unbegrenzt zunehmen oder abnehmen, wobei die Asymptote der bestimmte Wert ist, dem sich die Funktion nähert, ohne ihn jemals zu erreichen. Lernen Sie, wie Sie diese Funktionen analysieren können, und probieren Sie einige Beispiele aus der Relativitätstheorie und der Biologie aus.

Aufbauend auf dem, was Sie über Grenzwerte und Kontinuität gelernt haben, untersuchen Sie die Ableitungen, die die Grundlage der Differentialrechnung bilden. Entwickeln Sie die Formel zur Definition einer Ableitung und geben Sie einen Überblick über die Geschichte des Konzepts und seine verschiedenen Notationsformen.

Üben Sie verschiedene Techniken, die das Finden von Ableitungen relativ einfach machen: die Potenzregel, die Konstanten-Multiplikatoren-Regel, die Summen- und Differenzregeln sowie eine Abkürzung, die Sie verwenden können, wenn Sinus- und Kosinusfunktionen beteiligt sind. Dann sehen Sie, wie Ableitungen der Schlüssel zur Bestimmung der Änderungsrate bei Problemen mit bewegten Objekten sind.

Lernen Sie die Formeln für die Bestimmung von Ableitungen von Produkten und Quotienten von Funktionen. Verwenden Sie dann die Quotientenregel, um Formeln für die trigonometrischen Funktionen abzuleiten, die in der vorherigen Folge nicht behandelt wurden. Untersuchen Sie auch Ableitungen höherer Ordnung, Differentialgleichungen und horizontale Tangenten.

Entdecken Sie eine der nützlichsten Differenzierungsregeln, die Kettenregel, mit der Sie die Ableitung eines Komposits aus zwei Funktionen finden können. Erkunden Sie verschiedene Beispiele für diese Technik, darunter ein Problem aus der Physik, das die Bewegung eines Pendels betrifft.

Beherrschen Sie die letzte Strategie, um Ableitungen zu finden: die implizite Differenzierung, die verwendet wird, wenn es schwierig ist, eine Funktion nach y zu lösen. Wenden Sie diese Regel auf Probleme mit verwandten Raten an (z. B. die Rate, mit der sich eine Kamera bewegen muss, um das Space Shuttle zu einem bestimmten Zeitpunkt nach dem Start zu verfolgen).

Nachdem Sie die Regeln zur Bestimmung von Ableitungen kennengelernt haben, beginnen Sie mit der ersten von fünf Episoden, die sich mit der Anwendung dieser Techniken befassen. Ableitungen können verwendet werden, um die absoluten Maximal- und Minimalwerte von Funktionen, die sogenannten Extrema, zu finden, ein wichtiges Werkzeug für die Analyse vieler Situationen im realen Leben.

Verwenden Sie die erste Ableitung, um zu bestimmen, wo Graphen zunehmen oder abnehmen. Untersuchen Sie als Nächstes den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz, der u. a. besagt, dass bei einer Autofahrt die tatsächliche Geschwindigkeit an mindestens einem Punkt der Fahrt der Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen muss.

Was sagt die zweite Ableitung über ein Diagramm aus? Sie beschreibt, wie sich die Kurve krümmt, ob sie nach oben oder nach unten konkav ist. Bestimmen Sie die Konkavität ähnlich wie die Intervalle, in denen eine Kurve ansteigt oder abfällt, nur dass Sie dieses Mal die zweite Ableitung verwenden.

Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung können Sie sicher sein, dass Sie alle Eigenschaften des Graphen einer Funktion entdeckt haben. Nachdem Sie gelernt haben, wie dies geschieht, konzentrieren Sie sich auf die Tangente an einen Graphen, die eine bequeme Annäherung für die Werte der Funktion darstellt, die in der Nähe des Berührungspunktes liegen.

Bewältigung von realen Optimierungsproblemen, bei denen die relativen Extrema verschiedener Funktionen durch Differenzierung ermittelt werden müssen. Berechnen Sie die optimale Größe eines Kastens und die größte Fläche, die von einem Kreis und einem Quadrat aus einer gegebenen Länge von Draht umschlossen werden kann.

Schließen Sie Ihre Untersuchung der Differentialrechnung mit zusätzlichen Optimierungsproblemen ab. Professor Edwards betont, wie wichtig es für den Erfolg bei solchen Wortproblemen ist, das Problem zunächst mit Hilfe der Vorkalkulation zu formulieren, die Gleichung auf eine unabhängige Variable zu reduzieren und dann die Kalkulation zu verwenden, um die Antwort zu finden und zu überprüfen.

Bisher haben Sie eine Ableitung auf der Grundlage einer gegebenen Funktion berechnet. Entdecken Sie, wie Sie das Verfahren umkehren und die Funktion anhand der Ableitung bestimmen können. Dieser Ansatz wird als Antiderivative oder Integration bezeichnet. Lernen Sie auch die Notation für die Integration kennen.

Eines der klassischen Probleme der Integralrechnung ist die Bestimmung von durch Kurven begrenzten Flächen. Dieses Problem wurde bereits von den alten Griechen für einfache Kurven gelöst. Sehen Sie, wie später eine leistungsfähigere Methode entwickelt wurde, die eine Zahl liefert, die als definitives Integral bezeichnet wird, und lernen Sie die entsprechende Notation.

Die beiden wesentlichen Begriffe dieses Kurses, Ableitungen und Integrale, sind durch den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung, einen der wichtigsten Sätze der Mathematik, miteinander verbunden. Verschaffen Sie sich ein intuitives Verständnis für diese tiefe Beziehung, indem Sie mehrere Probleme bearbeiten und einen Beweis begutachten.

Probieren Sie Beispiele aus, die den zweiten Hauptsatz der Infinitesimalrechnung verwenden, der es Ihnen erlaubt, die obere Grenze der Integration als Variable zu betrachten. Erforschen Sie dabei weitere Beziehungen zwischen Differenzierung und Integration und entdecken Sie, dass sie fast invers zueinander sind.

Untersuchen Sie eine einfache Technik zur Ermittlung von Antiderivaten, die Integration durch Substitution. Sie basiert auf der Kettenregel und ermöglicht es Ihnen, ein schwieriges Problem in ein einfacher zu lösendes umzuwandeln, indem Sie die Variable u zur Darstellung eines komplizierteren Ausdrucks verwenden.

Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals kann der erste Schritt, die Bestimmung der Gegenableitung, schwierig oder sogar unmöglich sein. Lernen Sie die Trapezregel, eine von mehreren Techniken, die eine gute Annäherung an das definite Integral ermöglichen. Lösen Sie dann ein Problem, das ein von einem Fluss begrenztes Grundstück betrifft.

Überprüfen Sie die Eigenschaften von Logarithmen zur Basis 10. Dann sehen Sie, wie die so genannte natürliche Basis für Logarithmen, e, wichtige Anwendungen in der Kalkulation hat und eine der wichtigsten Zahlen in der Mathematik ist. Lernen Sie, wie solche natürlichen Logarithmen helfen, Ableitungsberechnungen zu vereinfachen.

Setzen Sie Ihre Untersuchung der Logarithmen fort, indem Sie einige der Konsequenzen der in der vorherigen Folge entwickelten Integralformel betrachten. Als Nächstes schalten Sie einen Gang höher und betrachten Umkehrfunktionen auf der Stufe der Vorkalkulation, um den Weg für eine tiefere Erkundung des Themas in den kommenden Folgen zu ebnen.