Eine Einführung in die formale Logik

Einflussreiche Philosophen haben im Laufe der Geschichte immer wieder behauptet, der Mensch sei ein rein rationales Wesen. Kognitive Studien zeigen jedoch, dass wir dazu neigen, falsche Überzeugungen zu akzeptieren. Überprüfen Sie einige unserer eingebauten Vorurteile und entdecken Sie, dass Logik das perfekte Korrektiv ist. Dann schauen Sie sich an, was Sie im weiteren Verlauf lernen werden.

Üben Sie, die in Aussagen versteckten logischen Argumente zu finden, indem Sie nach Indikatorwörtern suchen, die entweder explizit erscheinen oder impliziert sind - wie "deshalb" und "weil". Sehen Sie dann, wie Sie die Struktur eines Arguments erkennen können, wobei Sie sich darauf konzentrieren, ob es deduktiv oder induktiv ist.

Erforschen Sie vier häufige logische Irrtümer. Ein Zirkelschluss verwendet eine Schlussfolgerung als Prämisse. Begging the Question wird durch die konnotative Kraft der Sprache als Ersatz für Beweise ersetzt. Äquivokation ändert die Bedeutung von Begriffen mitten in einem Argument. Und bei der Unterscheidung ohne Unterschied wird versucht, zwei identische Positionen gegenüberzustellen.

Vertiefen Sie Ihr Verständnis für die Irrtümer der informellen Logik, indem Sie fünf weitere Fehlschlüsse untersuchen: Trugschluss der Autorität, Trugschluss der allgemeinen Meinung, Trugschluss der Tradition, Trugschluss der Neuheit und Argumentation durch Analogie. Testen Sie sich dann selbst anhand einer Reihe von Beispielen und versuchen Sie, den Fehlschluss zu benennen!

In dem Text werden fünf Argumentationsfehler im Zusammenhang mit Ursache und Wirkung beschrieben: post hoc (falsche Kausalität auf der Grundlage der Reihenfolge), Vernachlässigung einer gemeinsamen Ursache, kausale Übervereinfachung, Verwechslung zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen und der "Slippery Slope"-Fehlschluss.

Lernen Sie, konzentrierte Diskussionen aufrechtzuerhalten, indem Sie Ablenkungstaktiken erkennen: Ad-hominem-Angriffe, die auf die Person und nicht auf das Argument abzielen; Strohmann-Taktiken, die starke Argumente durch schwächere ersetzen; und Ablenkungsmanöver, die durch die Einführung irrelevanter Themen ablenken. Untersuchen Sie Beispiele für jede Taktik, um sie besser zu verstehen.

Wenden Sie sich von informellen Irrtümern, d. h. Fehlern in den Prämissen eines Arguments, zu Fragen der Gültigkeit bzw. der logischen Integrität eines Arguments. Konzentrieren Sie sich hier auf vier Trugschlüsse, die bei induktiven Schlussfolgerungen zu vermeiden sind: selektive Beweise, unzureichender Stichprobenumfang, nicht repräsentative Daten und der Spielerfehlschluss.

Untersuchen Sie zwei Tätigkeiten, die ohne Induktion nicht existieren könnten: Umfragen und wissenschaftliches Denken. Keines der beiden Verfahren liefert absolute Beweise in seinem Bereich, aber wenn Fehler und Irrtümer vermieden werden, können die Schlussfolgerungen beeindruckend zuverlässig sein.

Nachdem wir uns mit der Gültigkeit induktiver Argumente beschäftigt haben, untersuchen wir nun, was deduktive Argumente gültig macht. Lernen Sie, dass alles mit Aristoteles begann, der gründliche Methoden entwickelte, um mit absoluter Sicherheit zu bestimmen, ob eine Schlussfolgerung angesichts der Wahrheit ihrer Prämissen wahr sein muss.

Erkunden Sie die von Gottlob Frege entwickelte wahrheitsfunktionale Logik, die über das System von Aristoteles hinausgeht. Diese Logik untersucht Verbindungen wie "nicht", "und", "oder" und "wenn", die für die Computerlogik und die Art und Weise, wie Computer Informationen verarbeiten, grundlegend sind.

Die wahrheitsfunktionale Logik liefert die Werkzeuge, um viele der Schlussfolgerungen, die wir über die Welt ziehen, zu bewerten. Zuvor wurden Sie mit Wahrheitstabellen vertraut gemacht, die die Implikationen der Prämissen eines Arguments aufzeigen. Vertiefen Sie Ihre Kenntnisse über diese Technik, die eine fast magische Vielseitigkeit besitzt.

Prüfen Sie mithilfe von Wahrheitstabellen die Gültigkeit der berühmten Argumentationsform des modus ponens und ihres falschen Zwillings, der Bestätigung der Konsequenz. Entwirren Sie dann die Logik von immer komplexeren Argumenten, wobei Sie immer daran denken, dass der Sinn der Logik darin besteht, herauszufinden, was rational zu glauben ist.

Wahrheitstabellen sind nicht durchweg benutzerfreundlich, und einige Argumente entziehen sich ihrer analytischen Kraft. Lernen Sie eine andere Technik kennen, die Beweise der natürlichen Deduktion, die die Art und Weise unseres Denkens widerspiegelt. Behandeln Sie diese Art von Beweis wie ein Spiel - mit einem Spielbrett, einem definierten Ziel, Regeln und Strategien für ein erfolgreiches Spiel.

Erweitern Sie Ihre Fähigkeit, Argumente mit natürlicher Deduktion zu beweisen, indem Sie neun Äquivalenzen studieren - Sätze, die wahrheitsfunktional gleich sind. Die doppelte Verneinung besagt zum Beispiel, dass ein Satz und seine doppelte Verneinung äquivalent sind. "Es ist nicht der Fall, dass ich meine Mutter nicht angerufen habe" bedeutet, dass ich meine Mutter angerufen habe.

Vervollständigen Sie das System der natürlichen Deduktion, indem Sie eine neue Kategorie der Rechtfertigung hinzufügen - eine gerechtfertigte Annahme. Dann sehen Sie, wie dieses Konzept in bedingten und indirekten Beweisen verwendet wird. Mit diesen Ergänzungen sind Sie nun bestens gerüstet, um die Gültigkeit von Argumenten aus dem täglichen Leben zu beurteilen.

Bislang haben Sie zwei Ansätze der Logik kennen gelernt: Aristoteles' kategorische Methode und die wahrheitsfunktionale Logik. Nun kommt ein dritter, hybrider Ansatz hinzu, die Prädikatenlogik erster Ordnung, die es Ihnen ermöglicht, in Sätze einzudringen, um die logische Struktur in ihnen abzubilden.

So mächtig die Wahrheitstabellen auch sein mögen, sie eignen sich nicht, um die Gültigkeit von Prädikatsargumenten erster Ordnung zu beweisen. Dafür braucht man Beweise der natürlichen Deduktion - plus vier zusätzliche Inferenzregeln und eine neue Äquivalenz. Sehen Sie sich diese Verfahren an und probieren Sie dann einige Beispiele aus.

Studieren Sie zwei Techniken, um zu zeigen, dass ein Argument in der Prädikatenlogik erster Ordnung ungültig ist. Die Methode des Gegenbeispiels erfordert die genaue Beachtung der vollen Bedeutung der Wörter eines Satzes, was angesichts der symbolischen Natur der Logik eine ungewöhnliche Anforderung ist. Bei der Methode der Erweiterung gibt es keine solche Anforderung.

Verbessern Sie Ihre Kenntnisse der Prädikatenlogik erster Ordnung, indem Sie sich mit Beziehungen beschäftigen. Ein Beispiel: "Wenn ich größer bin als mein Sohn und mein Sohn größer ist als meine Frau, dann bin ich größer als meine Frau." Diese Beziehung ist offensichtlich, aber mit den erlernten Techniken können Sie auch subtilere Fälle beweisen.

Was in unseren logischen Grundlagen noch fehlt, ist die Möglichkeit, die Identität zu überprüfen. Diese als Äquivalenzbeziehungen bekannten Beweise haben drei wichtige Kriterien: Äquivalenz ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Testen Sie die Techniken, indem Sie die Identität einer unbekannten Partei in einer Büroromanze überprüfen.

Sehen Sie, wie all das, was Sie gelernt haben, mit der Mathematik zusammenhängt - und umgekehrt. Verfolgen Sie den Ursprung der deduktiven Logik bis zum antiken Geometriker Euklid zurück. Betrachten Sie dann die Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrien im 19. Jahrhundert und das Rätsel, das sich den Mathematikern dadurch stellte.

Vertiefen Sie sich in den Versuch zu beweisen, dass die logische Konsistenz der Mathematik auf die Grundrechenarten reduziert werden kann. Verfolgen Sie die Arbeit von David Hilbert, Georg Cantor, Gottlob Frege, Bertrand Russell und anderen. Erfahren Sie, wie die Unvollständigkeitssätze von Kurt Godel diesem ehrgeizigen Projekt den Todesstoß versetzten.

Fügen Sie Ihrem Vokabular für Prädikate erster Ordnung zwei neue Operatoren hinzu: ein Symbol für Möglichkeit und ein weiteres für Notwendigkeit. Diese ermöglichen es Ihnen, mit modalen Begriffen umzugehen, d. h. mit bedingten oder notwendigen Wahrheiten. Sehen Sie, wie Philosophen die Modallogik zur Untersuchung ethischer Verpflichtungen verwendet haben.

Sehen Sie sich an, was passiert, wenn wir die zentrale Behauptung der klassischen Logik, dass ein Satz entweder wahr oder falsch ist, ablehnen. Dieser Schritt führt zu neuen und nützlichen Arten der Argumentation, die als mehrwertige Logik und Fuzzy-Logik bezeichnet werden. Überlegen Sie abschließend, was Sie bisher gelernt haben und worum es in der Logik letztlich geht.