Entendendo o cálculo: problemas, soluções e dicas

Cálculo é a matemática da mudança, um campo com muitas aplicações importantes na ciência, engenharia, medicina, negócios e outras disciplinas. Comece analisando os objetivos da série. Em seguida, mergulhe fundo investigando o clássico problema da reta tangente, que ilustra o conceito de limites.

No primeiro de dois episódios de revisão sobre pré-cálculo, examine gráficos de equações e propriedades como simetria e interceptação. Explore também o uso de equações para modelar a vida real e inicie seu estudo de funções, que o professor Edwards chama de o conceito mais importante da matemática.

Continue sua revisão do pré-cálculo observando os diferentes tipos de funções e como elas podem ser identificadas por suas formas distintas quando representadas graficamente. Em seguida, revise as funções trigonométricas, usando tanto a definição de triângulo retângulo quanto a definição de círculo unitário, que mede os ângulos em radianos em vez de graus.

Entre no cálculo real aprofundando o conceito de limites apresentado no primeiro episódio. Aprenda a definição informal e prática de limites e como determinar um limite de três maneiras diferentes: numericamente, graficamente e analiticamente. Descubra também como reconhecer quando uma determinada função não tem um limite.

Em termos gerais, uma função é contínua se não houver interrupção na curva quando seu gráfico for desenhado. Explore as três condições que devem ser atendidas para a continuidade, juntamente com aplicações de ideias associadas, como a função do maior inteiro e o teorema do valor intermediário.

Os limites infinitos descrevem o comportamento de funções que aumentam ou diminuem sem limites, em que a assíntota é o valor específico do qual a função se aproxima sem nunca atingi-lo. Saiba como analisar essas funções e experimente alguns exemplos da teoria da relatividade e da biologia.

Com base no que você aprendeu sobre limites e continuidade, investigue as derivadas, que são a base do cálculo diferencial. Desenvolva a fórmula para definir uma derivada e examine a história do conceito e suas diferentes formas de notação.

Pratique várias técnicas que tornam relativamente fácil encontrar derivadas: a regra da potência, a regra do múltiplo constante, as regras da soma e da diferença, além de um atalho a ser usado quando as funções seno e cosseno estiverem envolvidas. Em seguida, veja como as derivadas são a chave para determinar a taxa de variação em problemas que envolvem objetos em movimento.

Aprenda as fórmulas para encontrar derivadas de produtos e quocientes de funções. Em seguida, use a regra do quociente para derivar fórmulas para as funções trigonométricas não abordadas no episódio anterior. Investigue também as derivadas de ordem superior, as equações diferenciais e as tangentes horizontais.

Descubra uma das regras de diferenciação mais úteis, a regra da cadeia, que permite que você encontre a derivada de uma composição de duas funções. Explore diferentes exemplos dessa técnica, incluindo um problema de física que envolve o movimento de um pêndulo.

Conquiste a estratégia final para encontrar derivadas: diferenciação implícita, usada quando é difícil resolver uma função para y. Aplique essa regra a problemas em taxas relacionadas (por exemplo, a taxa na qual uma câmera deve se mover para rastrear o ônibus espacial em um momento específico após o lançamento).

Depois de abordar as regras para encontrar derivadas, embarque no primeiro dos cinco episódios que tratam das aplicações dessas técnicas. As derivadas podem ser usadas para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos das funções, conhecidos como extremos, uma ferramenta vital para analisar muitas situações da vida real.

Use a primeira derivada para determinar onde os gráficos estão aumentando ou diminuindo. Em seguida, investigue o teorema de Rolle e o teorema do valor médio, cujas consequências são que, durante uma viagem de carro, sua velocidade real deve corresponder à sua velocidade média em pelo menos um ponto do percurso

O que a segunda derivada revela sobre um gráfico? Ela descreve como a curva se dobra, se é côncava para cima ou para baixo. Determine a concavidade da mesma forma que você encontrou os intervalos em que um gráfico estava aumentando ou diminuindo, exceto que desta vez você usará a segunda derivada.

Ao usar o cálculo, você pode ter certeza de que descobriu todas as propriedades do gráfico de uma função. Depois de aprender como isso é feito, concentre-se na linha tangente a um gráfico, que é uma aproximação conveniente para os valores da função que estão próximos ao ponto de tangência.

Enfrente problemas reais de otimização, o que requer encontrar os extremos relativos de diferentes funções por diferenciação. Calcule o tamanho ideal de uma caixa e a maior área que pode ser delimitada por um círculo e um quadrado feitos com um determinado comprimento de fio.

Conclua sua pesquisa sobre cálculo diferencial com problemas adicionais de otimização. Para ter sucesso com esses problemas, o professor Edwards enfatiza a importância de primeiro enquadrar o problema com o pré-cálculo, reduzindo a equação a uma variável independente e, em seguida, usando o cálculo para encontrar e verificar a resposta.

Até agora, você calculou uma derivada com base em uma determinada função. Descubra como inverter o procedimento e determinar a função com base na derivada. Essa abordagem é conhecida como obtenção da antiderivada ou integral. Aprenda também a notação para integração.

Um dos problemas clássicos do cálculo integral é encontrar áreas delimitadas por curvas. Isso foi resolvido para curvas simples pelos gregos antigos. Veja como um método mais eficiente foi desenvolvido posteriormente, produzindo um número chamado de integral definida, e aprenda a notação relevante.

As duas ideias essenciais deste curso, derivadas e integrais, estão conectadas pelo teorema fundamental do cálculo, um dos teoremas mais importantes da matemática. Obtenha uma compreensão intuitiva dessa relação profunda trabalhando em vários problemas e pesquisando uma prova.

Experimente exemplos usando o segundo teorema fundamental do cálculo, que permite que você deixe o limite superior da integração ser uma variável. No processo, explore mais relações entre diferenciação e integração e descubra como elas são quase inversas uma da outra.

Investigue uma técnica simples para encontrar antiderivadas, chamada integração por substituição. Com base na regra da cadeia, ela permite que você converta um problema difícil em um mais fácil de resolver usando a variável u para representar uma expressão mais complicada.

Ao calcular uma integral definida, a primeira etapa de encontrar a antiderivada pode ser difícil ou até mesmo impossível. Aprenda a regra do trapézio, uma das várias técnicas que que permitem obter uma aproximação da integral definida. Em seguida, resolva um problema envolvendo um terreno delimitado por um rio.

Analise as propriedades dos logaritmos na base 10. Em seguida, veja como a chamada base natural para logaritmos, e, tem usos importantes no cálculo e é um dos números mais significativos da matemática. Saiba como esses logaritmos naturais ajudam a simplificar os cálculos de derivadas.