Álgebra I

El profesor Sellers presenta los temas generales, describe su enfoque y recomienda una estrategia para aprovechar al máximo las lecciones y el cuaderno de ejercicios complementario. Entra en calor con algunos problemas sencillos que demuestran los números con signo y las operaciones.

El orden en que se realiza las operaciones aritméticas sencillas puede suponer una gran diferencia. Aprendan a resolver problemas que combinan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, así como a elevar números a varias potencias. Estos mismos conceptos también se aplican cuando se necesita simplificar expresiones algebraicas, por lo que es fundamental dominarlos ahora.

Continúen sy estudio de los fundamentos matemáticos explorando varios procedimientos para convertir entre porcentajes, decimales y fracciones. El profesor Sellers señala que es útil ver estos procedimientos como formas de presentar la misma información de diferentes formas.

Avanza al siguiente nivel de resolución de problemas utilizando variables como bloques de construcción para crear expresiones algebraicas, que son combinaciones de símbolos matemáticos que pueden incluir números, variables y símbolos de operación. Aprende también algunos trucos para traducir el lenguaje de los problemas (frases en inglés) al lenguaje de las matemáticas (expresiones algebraicas).

Descubran cómo siguiendo reglas básicas sobre cómo tratar los coeficientes y los exponentes, se pueden reducir expresiones algebraicas muy complicadas a otras mucho más sencillas. Empiecen utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación para reordenar los términos de una expresión, haciendo que combinarlos sea relativamente fácil.

Utilizando papel cuadriculado y lápiz, comiencen sy exploración del plano de coordenadas, también conocido como plano cartesiano. Aprendan a trazar puntos en los cuatro cuadrantes del plano, a elegir una escala para rotular los ejes x e y y a representar gráficamente una ecuación lineal.

En esta lección, se trabaja con ecuaciones lineales sencillas de uno y dos pasos, aprendiendo a aislar la variable mediante diferentes operaciones. El profesor Sellers también presenta un problema de palabras que implica una ecuación de dos pasos y da consejos para resolverlo.

Investigando ejemplos más complicados de ecuaciones lineales, se aprende que las ecuaciones lineales se dividen en tres categorías. En primer lugar, la ecuación puede tener exactamente una solución. En segundo lugar, puede no tener ninguna solución. En tercer lugar, puede ser una identidad, lo que significa que cada número es una solución.

Exploren el concepto de pendiente, que para una recta dada es su tasa de cambio, definida como el ascenso sobre el recorrido. Aprendan la fórmula para calcular la pendiente solo con coordenadas y lo que significa tener una pendiente positiva, negativa e indefinida.

Utilicen lo que han aprendido sobre la pendiente para representar ecuaciones lineales en la forma pendiente-intersección, y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección de y. Experimenten con ejemplos en los que calculen la ecuación a partir de una gráfica y de una tabla de pares de puntos.

Un enfoque más versátil para escribir la ecuación de una recta es la forma punto-pendiente, en la que solo se necesitan dos puntos y ninguno de ellos necesita interceptar el eje y. Trabajen con varios ejemplos y familiarícense con la determinación de la ecuación utilizando la recta y de la recta utilizando la ecuación.

Apliquen lo que han descubierto sobre ecuaciones de rectas a dos tipos muy especiales de rectas: paralelas y perpendiculares. Aprendan a distinguir si las rectas son paralelas o perpendiculares a partir de sus ecuaciones, sin tener que verlas. Prueben también a resolver problemas que incluyan ambos tipos de rectas.

Las ecuaciones lineales reflejan el comportamiento de fenómenos de la vida real. Practiquen la evaluación de tablas de números para determinar si pueden representarse como ecuaciones lineales. Concluyan con un ejemplo sobre el crecimiento anual de un árbol: ¿aumenta su tamaño de forma lineal?

Investigando más aplicaciones reales de las ecuaciones lineales, se deriva la fórmula para convertir grados Celsius a Fahrenheit; se determina el punto de ebullición del agua en Denver, Colorado, se calcula la velocidad de un globo que se eleva y el tiempo que tarda un ascensor en descender hasta la planta baja.

Cuando dos rectas se cruzan, estas forman un sistema de ecuaciones lineales. Descubran dos métodos para hallar la solución de un sistema de este tipo, ya sea por representación gráfica y por sustitución. A continuación, prueben un ejemplo real: un agricultor que quiere plantar distintos cultivos en distintas proporciones.

Amplíen sus herramientas para resolver sistemas de ecuaciones lineales explorando el método de resolución por eliminación. Esta técnica les permite eliminar una variable realizando sumas, restas o multiplicaciones en ambos lados de una ecuación, lo que permite una solución directa para la variable restante.

Cambien de marcha para considerar las inecuaciones lineales, las cuales son expresiones matemáticas que presentan un signo menor que o un signo mayor que en lugar de un signo igual. Descubran que este tipo de problemas tiene algunos giros muy interesantes y que aparecen con frecuencia en aplicaciones empresariales.

Se transiciona a un tipo más complejo de expresión algebraica que incorpora términos al cuadrado y, por tanto, se conoce como cuadrática. Aprendan a utilizar el método FOIL (primero, exterior, interior, último) para multiplicar términos lineales y obtener una expresión cuadrática.

Empiecen a encontrar soluciones para ecuaciones cuadráticas, empezando con la técnica FOIL a la inversa para encontrar los factores binomiales de un trinomio cuadrático (una expresión binomial consta de dos términos, un trinomio de tres). El profesor Sellers explica los trucos de la factorización de tales expresiones, el cual es un proceso casi como resolver un misterio.

En algunas circunstancias, las expresiones cuadráticas se dan en una forma especial que permite factorizarlas rápidamente. Concéntrene en dos de estas formas: trinomios cuadrados perfectos y diferencias de dos cuadrados. Aprender a reconocer estos casos facilita la factorización.

Para aquellos casos que desafían la simple factorización, la fórmula cuadrática proporciona una poderosa técnica para resolver ecuaciones cuadráticas. Descubran que esta expresión de aspecto formidable no es tan difícil como parece y que merece la pena memorizarla. Aprendan también a determinar si una ecuación cuadrática no tiene solución.

Después de aprender la definición de función, investiguen un método adicional para resolver ecuaciones cuadráticas: completar el cuadrado. Esta técnica es muy útil cuando se reescribe la ecuación de una función cuadrática de forma que la gráfica de la función se dibuje fácilmente.

Basándose en su experiencia resolviendo funciones cuadráticas, analicen las formas parabólicas producidas por dichas funciones cuando se representan en una gráfica. Usen sus habilidades algebraicas para determinar el vértice de la parábola, sus interceptos x e y, y si se abre en una "copa" hacia arriba o hacia abajo en un "casquete".

Las funciones cuadráticas aparecen a menudo en situaciones reales. Exploren una serie de problemas, tales como calcular la altura máxima de un cohete y determinar cuánto tarda en llegar al suelo un objeto que se deja caer desde un árbol. Aprenderán que, para encontrar una solución, la representación gráfica puede ser de gran ayuda.